合肥十中   费继明

    九年制义务教育教材《几何》第六章介绍锐角正弦和余弦的定义。所采取的方法是在直角三角形中定义正弦和余弦。这一方面基于初中阶段学生的认识能力，另一方面作为解直角三角形及进一步学习三角函数一般定义的基础，教材的处理降低了难度，这种安排是合理的。而解直角三角形的应用，作为数学素质教育的重要组成，初中阶段学生有必要学习。

    在教学正弦和余弦的定义时，准备知识是已学习的有关直角三角形的性质，所以教学中适当复习了直角三角形两个锐角互余、勾股定理以及特殊直角三角形中的边角关系。

    另外，在掌握直角三角形的锐角三角函数时，边角之间的位置关系影响学生对三角函数的理解和应用，所以要让学生对直角三角形的锐角，该锐角的对边，邻边以及斜边的位置关系有一个清晰的映象。在教学时，介绍直角三角形表示的习惯，然后由学生不看图形指出锐角的对边，邻边。目的是在潜移默化中培养学生的形象思维和空间想象能力，也为后面学生解直角三角形应用时准确选择三角函数式作好基础。

    教材中定义锐角的四个三角函数，而在这四个三角函数的引入中，正弦是关键。如果对正弦掌握清楚了，那么其余三个三角函数可以用类比的方法，学生容易接受。对正弦函数的发生，发展过程以及证明进行展开。

    新课程改革重视多种信息资源手段的利用，体现最新的学科进展，强调知识、技能在实际中的应用，体会数学与自然及人类社会的联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心。

    为贯彻这种理念，教学中利用教材中提供的沿山坡铺设水管，当水管铺设到某位置时怎样求管口离水平面的高度的引例。这个例子很好，但教材中的图形缺陷是绘制的是平面图形。这样学生极容易产生错觉，想到作水平线的垂线，然后测量垂线段的长度。而实际情况是管口在山坡上，根本无作垂线的测量，（排除可能利用的科技手段）。教学中在多媒体上尽量使用立体感些的图形，减少了学生的误解，体现教学的应用价值。通过共同讨论得到这个实际问题的解决方案：容易做到的是测量铺设管道的长度以及山坡的角度。转化为教学问题，即已知直角三角形的斜边，一个锐角求该锐角的对边的问题。这里测量山坡的角度，学生能够理解为直角三角形的锐角，事实上是二面角与其平面角之间的关系，在教学中不加指明。另外，把实际问题建立数学模型的思想是本节课的一个难点。教学中发现初中生的这种转化能力还需在今后不断加强。讲解中特别指出了如果测量的角不是30⁰，45⁰，60⁰等特殊角时，那么我们过去学过的方法能够解决吗？避免学生走入极端。产生新的矛盾，能够激发探寻教学问题的积极性。这样，学生认识到有必要进一步研究直角三角形的边角之间关系。

    在现代教学技术广泛应用的今天，有必要向学生呈现直角三角形的锐角，该锐角的对边及斜边之间的变化关系，再次从另一层面展示知识的发生过程。在教学中让学生观察当锐角一定时，其对边和斜边的变化情况；当对边一定时，斜边与锐角的变化情况；以及当斜边一定时，锐角和其对边的变化情况。通过观察，有些学生猜测可能存在某种比例关系，即使不能想到更多，至少能认识到直角三角形中这三个量存在一定的联系。第三种情况在单位图中设计，作为学生的观察重点。这种情况中寓含正弦函数在0⁰­­­­­——90⁰之间的单调性，以及正弦函数线等相关知识。这种观察，学生获得的仅是感性认识，怎样对待自己感性认识的事物，这就是科学方法问题。

    数学教学要完成使学生发现问题，解决问题，探寻数学规律的任务。新课程改革要求教师在教学中遵循人的认识规律，培养学生的动手能力，创新精神。

    在教学中举了大科学家牛顿从树上掉下一个苹果这样一种特殊情况发现了万有引力的例子。类比由特殊的直角三角形考察其锐角，该角的对边及斜边之间的关系，这种由特殊到一般，然后归纳猜想，最后加以证明是发现数学规律的重要途径。教学中，由学生自己逐步从特殊到一般考察，得到当锐角一定时，不论该锐角所在直角三角形多大，其对边和斜边的比不随三角形的大小变化而变化，而是由角的大小唯一确定，当角变化时，这个比也随之变化，所以这符合我们已学习的函数概念。规定这个比为锐角的正弦。在学生探寻正弦概念之后，指出在直角三角形中锐角的邻边和斜边之间有类似的关系吗？很快得出余弦的定义。

    接下来采取自然过渡到正弦，余弦概念的应用。最后就引例中的问题给出数值由学生求解，使整节课首尾呼应，例如：假设通过测量铺设的水管长为20m，测量坡角α得到它的正弦值是 ，求管口离水平面的高度。学生一般很快计算出结果为12m。

    在学生小结本节课内容后，布置了一道课后练习题：设计一种方案求学校旗杆的高度。使本课内容得到升华。这种开放型问题有利学生的创造性思维和个性发展，其中测量仰角和直角边的方案引发的问题思考可引入正切，余切的内容。

    新课改要求学生初步学会运用数学的思维方式观察分析，解决日常生活中和其他学科中的问题，获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的分析问题、解决问题等能力。要转变过去那种只重结果而轻视过程的教育。通过对正弦的探索，学生发现斜边与锐角邻边的比也应是由角唯一确定，这就是探索得到“副产品”。反映学生正在变被动为主动地学习。